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Lorentz

Lorentz "Alice" est le produit d'un projet non officiel de mes cours de mathématiques. Le but est de calculer les solutions du système d'équations différentielles non-linéaires suivant :

     x' = ax + ay
     y' = bx - y - xz      avec a, b, c réels.
     z' = - cz + xy

Et comme disent les mathématiciens : "Il n'y a pas de moyen de calculer ça de façon formelle." Donc on suppose alors que le système est une suite par récurrence telle que :

     x'n+1 = axn + ayn
     y'n+1 = bxn - yn - xnzn      avec a, b, c réels.
     z'n+1 = - czn + xnyn

On fixe des valeurs simples comme 0 ou 1 à x0, y0, z0. On n'a donc plus qu'à faire une primitive de chaque expression pour avoir une solution approchée à chaque itération.

Or M. Lorentz a annoncé dans les années soixante qu'une infime variation des conditions initiales (x0, y0, z0) changeait d'une façon très grande les valeurs de la solution. On s'est alors posé comme objectif de modéliser le concept.

La manière de représenter le principe est la suivante : on effectue les calculs par récurrence de n = 1 à un nombre d'itérations N donné. Puis on recalcule jusqu'à la moitié de ce nombre, on calcule une valeur numérique, pour un t arbitraire, et on recalcule N/2 itérations. D'après Lorentz, les solutions divergent.

La première tentative de calcul a été tentée sur un logiciel de calcul formel, Maple V Release 5. On s'est vite rendu compte que ce n'était pas l'outil idéal, car le calcul formel prenait un temps monstrueux, et surtout, il nous donnait un résultat "décevant" : les solutions étaient exactement les mêmes ! L'explication était simple : Maple s'efforçait coûte que coûte (en temps !) de calculer le plus justement possible, et il y arrivait assez bien...

Et donc nous avons changé de méthode, et décidé de refaire le calcul avec un "mauvais" calculateur, comme le langage Pascal. En fait, Lorentz est programmé en Delphi, proche du Pascal. Et ça marche !

Le programme proposé ici est dépourvu de toute documentation, à part cette briève explication, je tâcherai d'y remédier un jour.

Nom Version OS Disponibilité Source
PSW logo
Lorentz
Alice (IRV1.0) Windows 95/98/Me/NT/2000/XP 111 ko 15 ko

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